关于市场有效理论的一个争议是关于市场特性统计方面的。有效市场假定市场收益率是独立同分布、方差有限的正态分布，但大量的实证研究表明，证券收益率分布具有尖峰与厚尾特征，样本方差增大，不服从正态分布。因此，基于正态分布的资产定价模型就会产生预测的偏差，而且也不能采用方差来度量证券的风险程度。必须重新探讨市场特性，从而不依赖于独立同分布、方差有限的正态分布假设。

针对有效市场假设理论的缺陷和不足，彼得斯（EdgarE.Peters，1994）在曼德尔布罗特的分形理论基础上提出了分形市场假说，作为有效市场假设的替代，并提出用分形分布来代替正态分布。分形分布不仅能够较好地描述资产回报及前后期回报间的内在联系，而且可以很好地描述资产回报历史数据的尖峰厚尾的特性。

分形市场假说主要包括以下内容：

1、分形市场假说认为投资者并非都是理性的，不再具有完全相同的、绝对理性的预期，投资者对于信息的反应是非线性的，信息不是完全、及时、一致地反映到预期中，投资者会根据自己的投资起点对不同的信息做出不同的评价和预期，过去的信息会对市场产生影响，价格并没有反映所有的信息，不遵循随机游动。

2、分形市场假说认为，一个市场的存在首先依赖于市场的稳定，而一个稳定的市场必须有充足的流动性，而有效市场假设理论并没有考虑，而认为无论流动性存在与否，价格总是公平的。FMH强调投资期限对投资者行为的影响，只有当大量的不同投资期限的交易者存在时，市场才是稳定的，只有稳定的市场才能确保足够的流动性。比如，某一信息导致一些投资者纷纷逃离市场，却导致另一些不同投资起点的投资者纷纷进场，才使市场保持了稳定。因此，证券市场从局部看是随机的、杂乱无章的，但就整个市场而言，它是稳定的。

3、分形市场假说认为，证券的收益率是分形分布的。分形分布具有自相似性、厚尾性、不连续性、长期记忆性。自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性或局域结构与整体相似。在金融市场上的表现就是，资产价格如果不标注X轴、Y轴的刻度，无法从波动形状上分出哪个是日价时间序列、哪个是周价时间序列、哪个是月价时间序列，呈现图形分布上的自相似性，同时这种分布在频数分布图上还表现出尖峰厚尾的形态。不连续性表明缺乏平滑且不可微分。长记忆性表现为波动的时间序列在时间上具有自相关性。

4、分形理论应用在时间序列研究中，就发生着由整数维时间序列向分数维时间序列的扩展。在有效市场假设中，资产价格遵循布朗运动，价格序列具有单位根，为一阶单整序列I(1)：（Pt为价格序列，为白噪声序列）。因此，有效市场中的价格序列为整数维时间序列，该理论采用的是一种线性的范式来拟合市场。经济学家们在大量研究中发现市场收益率并不服从正态分布，而呈现出厚尾的特征，这说明金融市场是一个非线性系统，有一定的随机性，又有一定的规律性。在Mandelbrot提出的分形理论中，收益序列具有非线性和分维数特征：（为分数方差算子，为白噪声序列，）。当d＝0时，即为线性的有效市场，因此，有效市场假设是分形市场假设的特例，分形市场假设是对有效市场理论的修正与进一步拓展。

二、分形市场假说的实证研究

对分形市场的实证研究办法主要有相关维、李雅普诺夫指数、Kolmogrov熵、Hurst指数和长程相关记忆周期这样一些定量指标。其中R/S分析方法是用来研究分形时间序列的一种常用方法，它最早是由赫斯特（Hurst）在研究水库控制时提出来的。其基本思路是：对于某一时间序列，设总的观测次数为M，并把它分成A个长度为N的子区间，为比较不同类型的时间序列，赫斯特用观测值的标准差去除极差，来建立一个无量纲比率重标极差：

R/S=(aN)H

其中：R/S为重标极差，N为观测次数，a为常数，H为Hurst指数。

通过对上式取对数得到：log(R/S)=Hlog(N)+Hlog(a)

对于不同的N,可以得到不同的(R/S)N,以它们为观测值，利用最小二乘法求回归系数便得Hurst指数H。

再通过下列公式把Hurst指数与分形维数联系起来：D＝2－H（其中，D为分形维数，H为Hurst指数）。此时有三种可能：

（1）当H＝0.5时，D＝1.5，说明序列是随机的，变量遵循随机游动且是相互独立的，现在不影响未来，此时，它可能是高斯正态分布，也可能是t分布或其他非高斯独立过程分布。如果是高斯正态发布，那么此时市场是有效市场。

（2）当0≤H＜0.5时，D＞1.5，说明序列是反持续性的或遍历性的，也称为“均值回复”，变量表现为负相关。H越接近0，负相关程度越强，如果某一时刻,序列向上（下）变化，那么在下一时刻将反转向下（上）变化，这种时间序列有比随机序列更强的突变性或易变性。

（3）当0.5＜H≤1时，D>1.5，说明序列是持久性的或趋势增强的，它经常被称为分形时间序列。即如果某一时刻,序列向上（下）变化，那么在下一时刻将继续向上（下）变化，变量为正相关。且H越接近1，正相关程度越强，H越接近0.5，其噪声就越大，趋势也越不确定。正是这种正相关性，市场具有长期记忆结构，使得时间序列在时间方面具有自相似性。